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有趣的概率问题——赌徒一定会输光吗?

戒吧戒赌网戒吧戒赌网 2020-09-06 1082 0

这回我们研究的问题涉及到的数学知识不复杂,初、高中的知识足够了。但是问题很有趣,希望大家喜欢。

一、赌徒输光定律

据说有一个著名的定律,叫做“赌徒输光定律”。这个定律的大概意思是说,一个拥有n个筹码的赌徒去赌场赌博,只要他贪婪成性,一直赌下去,总会在有限轮次后输光自己的全部n个筹码。

一般证明这个定律的方法如下:

假设赌徒和庄家赌博,这是一个公平的赌局,双方每把输赢的概率都是1/2 。庄家和赌徒的区别在于庄家手中有无限多的筹码。假设每次双方都押注一个筹码,赌徒只要还有筹码,就会继续赌下去,那么赌徒最终输光全部n个筹码的概率是多少呢?
设赌徒输光的概率为   有趣的概率问题——赌徒一定会输光吗?-第1张  ,那么很容易得到一个递推关系   这是因为赌徒有一半的可能在第一局中赢一个筹码,从而使自己有n+1个筹码;也有一半的可能输一个筹码,从而自己的筹码变为n-1个。       分别表示这两种情况下赌徒输光的概率。 这个递推关系很容易整理成为   从而说明g(n)是一个等差数列。我们知道,g(0)意味着赌徒没有筹码时输光的概率,显然没有筹码意味着已经输光了,概率当然是1,也就是    。我们再设    ,于是等差数列的公差为a-1,从而得到   我们知道,概率一定是要大于0的。也就是说无论n是正整数中的哪一个,g(n)>0都成立。从而得到    对于任何正整数n都成立。 显然,n趋于无穷的时候,    趋于1%20。因此,可以知道    必成立。可是a本身也是一个概率,也即    ,从而得到%20a=1%20,也就是g(n)是一个公差为%200%20的等差数列。 代入上式,得到    恒成立。 此时赌徒输光的概率总是%201%20,也就是说赌徒必定输光。
这是一个正确的结论,其实不用上述严格的推导,只要凭着直觉想象,也能想到庄家有无穷多的筹码,而赌徒只有有限多的筹码,虽然赌局是公平的,但赌徒一直赌下去的话,当然拼不过有无穷多筹码的庄家啦。 所以大家千万不要沉迷赌博,因为只要你贪婪的一直赌下去,最终的结果一定是输光!

二、赌徒肯定会输光,那么“赌王”呢?或者不那么贪婪的赌徒呢?

我小的时候,很喜欢看香港的赌片。什么《千王之王》、《胜者为王》、《赌神》等等,我都非常喜欢,这些片子如今已经永久的沉淀在了我记忆的深处。这些片子里无一例外都有着各类拥有“赌王”称号的人,赌王们神奇的“千术”让人眼花缭乱。可能有朋友在想了,难道赌王出手,也必然输光吗?还有的朋友会想,我虽然不是赌王,但是如果我见好就收呢?难道也一定会输光吗?结果还真不一定。

下面,我们就来一般性的讨论一下这个问题。这回我们把参与赌博的人称为 玩家,因为他们未必很贪婪,说不定还有千术。

既然赌王都可能出手,我们当然不能再认为赌局是公平的,也就是说每把输赢的概率不会都是1/2%20。我们假设玩家每把获胜的概率为%20p%20,并仍然假设他们一开始拥有%20n%20个筹码,每把都押注%201%20个筹码;另外,为了表明玩家不是贪婪的赌徒,我们还假设玩家赢到自己有%20m%20个筹码(m>n)的时候就收手不玩了。这种情况下,我们来计算一下玩家输光的概率g(n)%20。

此时的递推关系变成了   式(1)的含义是清楚的,玩家第一局可能以概率p赢了一个筹码,也可能以概率(1-p)输掉一个筹码。需要注意的是,式(1)中的%20n+1%20要小于等于%20m%20。因为玩家一旦有了m个筹码,就不玩了,所以%20n>m%20时的%20g(n)%20无意义。 由式(1)变换得到     ,显然由式(2)我们知道    是一个常数数列。 于是我们来看    ,我们知道    ,并仍然设   ,于是得到常数数列   也就是  ,从而   由式(3)我们可以递推得到g(n)的通项表达式,这里面需要用到等比数列求和公式,最终结果为 我们得到了g(n)的通项表达式,但是仍然有一个参数需要求出来,那就是    到底是多少?其实这样的数列需要两个边界条件才能得到最终的通项公式。我们已知的一个边界条件就是    ,还有一个边界条件需要利用“不贪婪”这个初始假定得到。

我们知道,玩家一旦赢到有了m个筹码,就不玩了,也就意味着有了m个筹码,再输光的概率就是%200%20。于是,我们得到了另外一个边界条件    

   代入式(4),可以求出%20a%20,这是一个简单的一元一次方程。解得,   看着a有点复杂,但是别着急,我们可以用个小技巧更方便的得到%20g(n)%20。那就是既然    ,从而    。再利用式(4),得到  ,这时再把a%20代入,得到   为了表达简洁些,我们令    ,从而 好,式(6)才是我们最终得到的关于g(n)的通项表达式。下面,我们可以好好分析一下各种可能的情况啦。

(1)玩家不会千术,公平赌局,但玩家不贪婪的情况

这种情况意味着%20p=1/2,u=1%20,此时我们发现式(6)的分母为零。不过不要紧,这是因为等比数列求和的原因,我们知道其实式(6)的分子分母可以同时约掉%20u-1%20这个公因式的,从而得到

这时把%20u=1%20代入上式,计算得到这种情况下的    

别忘了g(n)是玩家输光的概率,作为玩家,我们肯定希望%20g(n)%20越小越好。显然,此时的%20m%20越小%20g(n)%20越小。但是考虑到%20m>n%20,所以最小的%20m%20也要为%20n+1%20。

这种情况下,越不贪婪,赢面越大;如果真的赢一个筹码就跑,虽然赌品不太好,但是赢面最大。当然,这样的话也赢不了几个钱啦。比如,如果玩家一开始有100个筹码,自己设定赢一个就走,那么他赢的概率大约为    ;但如果他非要赢到1000个筹码,那么赢面就只有    了。

如果贪婪程度不断增加,m%20设定越来越大,输光的概率也就越来越逼近%201%20。如果让m趋于无穷,那就回到了第一部分中讨论的赌徒输光定律中的情况,必输无疑。

(2)赌王会千术,且一直玩下去的情况

好,这回是赌王出场了。既然是赌王,我们可以确信    ,也就是%20u<1%20。但是赌王身份不同,总不能赢了就跑,所以我们还得设定    。代入式(6)得到

这个数肯定不会是%201%20,说明赌徒输光定律不适用于赌王。这本来也正常,比如真的有超级赌王——赌神的话,假设其每把赢的概率都是%201%20,也就是每把必胜,那么当然肯定不会输啦。

对于一般的赌王,一方面要尽量修炼千术,增大p,从而减小g(n);另一方面要尽量带足筹码,增大n,从而减小g(n)。

不过赌片大家都看到啦,如果你赌术精湛,p%20太大了,赌场就会找人做掉你,那你就得不偿失啦。所以,不管怎样,做人要低调,像周润发饰演的赌神一样,从不照相,只吃巧克力。

(3)作为普通玩家面对不公平赌局,我们如何设定%20m%20?

如果我们就是普通玩家,而且赌局也未必公平,那么应该怎么设定m才对自己最有利呢?

既然赌局不公平,我们假设%20p=0.45,而且我们一开始有100个筹码。此时    ,我们画出这时g(n)随%20m%20变化的函数图像如下,

g(n)随m变化的图像

看起来情况很清楚,如果我们设定的m足够小,那么还有可能取胜,比如取 m = 101 时,输光的概率为18.2% ;但是只要稍微贪婪一点,比如取 m = 104 时,输光的概率已经过半,达到55.2%;m = 109 时,输光的概率已经高达83.6% 。

于是我们这些普通玩家就知道了,如果面对不公平的赌局,千万别冒险。上面的例子只是稍微不公平一点点儿(p才是0.45),结果玩家拿着100个筹码想赢4个的话,输光的概率已经超过一半儿了。

 

好了,综合上述分析,我们知道了:除非你是赌神或者赌王,否则无论是公平赌局还是不公平赌局,最好的选择是不赌;如果一定要赌,也要小赌怡情、赢了就跑,否则就会堕入赌徒输光定律的陷阱

三、如果是两个赌王PK呢?

限于篇幅,本文不再详细讨论这种情况,有兴趣的朋友可以自己计算,但是不能沿用前面的计算方法了,因为这时没有拥有无穷多筹码的庄家了。

这种情况设定如下:
两个赌王甲和乙都带有同样多的筹码,设为 n 个筹码,但是两个赌王的千术水平未必相同。设每把甲获胜的概率为 p ,乙获胜的概率当然为 1-p,而且每把都押注一个筹码。某一方输光则输掉这场PK。问,甲这场PK获胜的概率有多大?

我可以把答案告诉大家,甲获胜的概率为 有趣的概率问题——赌徒一定会输光吗?-第2张 

从这个结果可以看出,如果你和别人比拼赌术,而且你的赌术水平略高(也就是p>1/2),那么你应该尽量增大n,比如每次少押点钱;但是如果你的赌术水平比对手低(也就是 p<1/2),那么你应该尽量减小n,也就是每次多押钱,最好是一把定胜负,反而你取胜的可能性还大些。

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